Hvorfor er faktoren nul lig med én?

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Faktorialet for et positivt heltal er produktet af alle heltal mindre end eller lig med det, og er angivet med symbolet !. For eksempel er fakultetet af tallet 4 udtrykt som 4! og er lig med 24:

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Især er fakultetet af tallet 0, (det vil sige 0!), defineret lig med 1, selvom denne værdi ikke stammer fra definitionen af ​​faktorial, som kun er gyldig for ethvert heltal større end eller lig med 1. Hvorfor Hvorfor defineres fakultetet af tallet 0 som 1, hvis der er en matematisk regel, der siger, at ethvert tal ganget med nul er lig med nul?

Ud over den forvirring, som denne situation kan give anledning til, skal det bemærkes, at værdien af ​​fakultetet af tallet 0 er en definition ; det vil sige, matematisk er det defineret, at 0! = 1. Lad os nedenfor se grundlaget for denne definition.

Definitionen af ​​fakultetet af tallet 0

Som vi allerede har nævnt, er den første ting at bemærke, at tildelingen af ​​værdien 1 til fakultetet af tallet 0 (0! = 1) er en definition, selvom dette principielt ikke fører til en tilfredsstillende forklaring, hvis vi kun ser på ved definitionen af ​​faktoriel.

Husk på, at definitionen af ​​et factorial af et positivt heltal er produktet af alle heltal lig med eller mindre end det. Bemærk, at denne definition også indebærer, at faktoren er forbundet med alle mulige kombinationer af tal mindre end eller lig med det tal, vi overvejer.

Tallet 0 har ingen positive heltal mindre end det, men det er stadig et tal, og der er kun én mulig kombination af dette særlige sæt tal, der kun består af tallet 0. Denne kombination er ét, ligesom i tilfældet med tallet 1.

For bedre at forstå den matematiske betydning af denne definition, skal det tages i betragtning, at faktorbegrebet også involverer anden information indeholdt i et antal, specifikt de mulige permutationer af dets faktorer. Selv i det tomme sæt repræsenteret ved tallet 0 kan det tænkes, at der er en måde at bestille dette sæt på.

Permutationer og factorials

Begrebet faktorial bruges i den gren af ​​matematik, der kaldes kombinatorik, en disciplin, hvor begrebet permutation af elementer er defineret. En permutation er en specifik og unik rækkefølge af de elementer, der udgør et bestemt sæt. For eksempel er der seks mulige permutationer af sættet {1, 2, 3}, der indeholder tre elementer, da vi kan skrive disse elementer på følgende seks måder:

  • 1, 2, 3
  • 1, 3, 2
  • 2, 3, 1
  • 2, 1, 3
  • 3, 2, 1
  • 3, 1, 2

Vi kunne også udtrykke dette koncept gennem det faktorielle udtryk for tre, 3! = 6, hvilket giver os mulighed for at beregne det komplette sæt af permutationer af en gruppe på 3 elementer. På samme måde er der 24 permutationer (4!=24) af et sæt med fire elementer og 120 mulige permutationer (5!=120) af et sæt med fem elementer. Så en alternativ måde at tænke på begrebet faktorial er at tilsidesætte ideen om, at det er forbundet med et naturligt tal n  og tro, at  n ! er antallet af permutationer af et sæt bestående af  n  elementer.

Lad os se nogle eksempler i betragtning af nu denne nye opfattelse af et tals faktoriale. Et sæt bestående af to elementer har to mulige permutationer: {a, b} kan ordnes som (a, b) eller som (b, a). Dette er forbundet med definitionen af ​​factorial af tallet 2; 2! = 2. Et sæt bestående af et enkelt element, {a}, har kun én mulig permutation, og er forbundet med definitionen af ​​faktorial af tallet 1; 1! = 1.

Lad os nu vende tilbage til tilfældet med faktoren 0. Mængden integreret af nul-elementer kaldes den tomme mængde. For at finde værdien af ​​faktoren 0 kan vi spørge os selv, på hvor mange måder kan vi bestille et sæt uden elementer? Og selvom et svar kan være, at der ikke er noget at bestille i et tomt sæt, har vi også alternativet, at selv tom er et sæt, så svaret kunne være 1, og så 0! = 1.

Andre anvendelser af factorial

Som vi allerede har sagt, bruges faktorbegrebet i kombinatorik, og dette matematiske værktøj bruges til at udføre beregninger i formler, der udtrykker permutationer og kombinationer af grupper af elementer. Selvom disse applikationer ikke giver en direkte begrundelse for tildelingen af ​​1 til fakultetet af tallet 0, kan det forstås, hvorfor det er defineret på denne måde.

Begrebet kombination af en gruppe af elementer refererer til antallet af undergrupper, der kan opnås med dem, uanset i hvilken rækkefølge de betragtes. For eksempel har sættet {1, 2, 3} kun én join, hvis tre elementer tages, uanset rækkefølge. Men hvis vi tog dem med to elementer, ville vi have tre mulige kombinationer, {1, 3}, {2, 3} og {1, 2}, ligesom hvis vi tog dem med ét element, {1}, {2} og {3}. Den generelle formel til at beregne antallet af kombinationer uden gentagelse af et bestemt sæt af n elementer taget i undergrupper af p elementer er C  ( n , p ) = n !/ p !( n–p ) !.

Hvis vi bruger denne formel til at bestemme kombinationstallet af tre elementer taget tre, ser vi, at resultatet skal være 1, udtrykt ved  C  (3, 3) = 3! / 3! (3-3)! = 3! / 3! 0!, så det er nødvendigt at definere 0! = 1 for at det matematiske udtryk giver mening.

På samme måde er der andre situationer, der gør det nødvendigt at definere tallet 0’s fakultet som 1, 0! = 1, som en del af den generelle opfattelse i udviklingen af ​​matematik, der indikerer, at når nye ideer bygges og nye definitioner inkorporeres, skal der være kompatibilitet med allerede eksisterende strukturer.

Bibliografi

Nul faktor eller 0!. Khan Academy .

Er der en faktor på 0? YouTube-kanal Drifting .

-Reklame-

mm
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados