Tabla de Contenidos
Når man udfører forskellige typer beregninger, hvad enten det er inden for naturvidenskab eller teknik, er det meget almindeligt at ty til eksperimentelle data, som vi finder organiseret i forskellige tabeller. Disse data relaterer normalt to variable, som vi ved afhænger af hinanden, men hvis matematiske afhængighed vi ikke kender. Dette ville ikke være et problem, hvis alle de data, vi har brug for, var i tabellen, men det sker sjældent. Det er mere almindeligt, at vi skal bruge værdien af en af variablerne for en værdi af den anden, som ikke findes i tabellen.
Når dette sker, kan vi tilpasse de eksperimentelle eller tabulerede data til en polynomisk matematisk funktion, som vi derefter kan bruge til at tilnærme den ukendte værdi af den interessante variabel. Denne proces kan involvere interpolation eller ekstrapolation.
Disse to processer er tæt beslægtede og er baseret på den samme grundlæggende tuning procedure, men de er ikke de samme. Dernæst vil vi diskutere, hvad der er de vigtigste forskelle mellem disse to metoder til at estimere værdien af en afhængig variabel for en given værdi af en uafhængig.
definition af interpolation
Interpolation er processen med at estimere værdien af en afhængig variabel for en bestemt værdi af den uafhængige variabel ud fra viden om et sæt data eller diskrete punkter over og under det punkt, vi ønsker at estimere. Med andre ord er det processen med at estimere et punkt, der ligger mellem to kendte punkter. Den følgende graf viser en række data repræsenteret af de blå punkter, og det røde punkt repræsenterer interpolationen mellem punkterne i X 1 og X 2 .
Ordet interpolation kommer fra foreningen af to latinske ord, der er præfikset inter-, som betyder mellem eller med intervaller, og -polire , som betyder at skubbe eller tilskynde, med henvisning til det faktum, at interpolation har at gøre med at skubbe eller flytte to data til et punkt, der ligger imellem dem.
Definition af ekstrapolation
Ekstrapolation kan forstås som processen med at estimere værdien af en afhængig variabel for en værdi af den uafhængige variabel fra et sæt punkter eller data, der enten alle er større end eller alle mindre end det punkt, der skal estimeres.
Med andre ord er det processen med at estimere værdien af et punkt, der er over eller under alle kendte punkter eller data. Den følgende figur viser et eksempel på ekstrapolering af dataene til et punkt over alle kendte data.
Etymologisk set har ekstrapolat den samme latinske rod –polire , men denne gang er den foranstillet af det latinske præfiks ekstra- som betyder ud af. Udtrykket refererer således til estimatet af punkter, der er uden for rækkevidden af det oprindelige datasæt, enten fordi det er større eller mindre end alle kendte data.
Forskelle i usikkerheden ved interpolation og ekstrapolation
Når man sammenligner interpolation med ekstrapolation, kan det konstateres, at der er en væsentlig forskel med hensyn til risikoen for at frembringe resultater, der afviger betydeligt fra den reelle værdi af de data, vi leder efter. I tilfælde af interpolation, da den udføres mellem to på hinanden følgende punkter, kan vi have en vis grad af sikkerhed for, at den værdi, vi interpolerer, er et sted mellem disse to punkter. Det vil sige, vi har en vis sikkerhed for, at værdien af den ukendte funktion ikke skyder op eller ned, før vi når det næste punkt, fordi vi ved, hvor det næste punkt er.
I stedet, når vi laver en ekstrapolation, projicerer vi dataenes adfærd fremad eller bagud, og da der ikke er nogen referencepunkter fremad (eller længere tilbage, hvis det var tilfældet), så har vi ingen måde at vide, hvordan det opfører sig virkelig den variable. Det kan fortsætte med den samme adfærd, som det skete før, såsom det kan brat skyde i begge retninger. Af denne grund medfører ekstrapolation større usikkerhed end interpolation.
De er normalt tilpasset til forskellige polynomielle funktioner
Ekstrapolations- og interpolationsprocesserne er baseret på justeringen af to eller flere kendte punkter til en matematisk funktion, der giver os mulighed for at forudsige værdien af funktionen på andre ukendte punkter. I både tilfælde af interpolation og ekstrapolation er den mest almindeligt anvendte funktion til estimering den lineære funktion (y = mx +b). Selvom denne funktion er velegnet til både interpolation og ekstrapolation, når den ukendte værdi, vi ønsker at estimere, er rimelig tæt på de kendte punkter, er dette ikke længere tilfældet, når man ekstrapolerer væk fra ekstremerne.
Faktisk, hvis dataene som helhed ikke er bemærkelsesværdigt lineære i adfærd, kan ekstrapolationer meget hurtigt glide væk fra den sande værdi, når vi bevæger os væk fra begge yderpunkter. Dette er grunden til, at ekstrapolering normalt kræver mere omhu og brug af ekstrapolationsfunktioner, der er mere komplekse eller har højere orden end dem, der bruges til interpolation.
I sidstnævnte tilfælde er lineær interpolation næsten altid tilstrækkelig, forudsat at de kendte data eller punkter ikke er for langt fra hinanden.
De kan variere i antallet af dataelementer, der er nødvendige for estimatet
En anden vigtig forskel mellem interpolation og ekstrapolation er antallet af dataelementer, der kræves for at udføre estimatet. Ved interpolation antages det næsten altid, at værdien af det søgte punkt ligger på en ret linje, der forbinder de to nærmeste punkter. I dette tilfælde er det nok at kende disse to punkter til at udføre interpolationen. Med andre ord er effekten af en fejl i hældningsestimatet på interpolationen sjældent alvorlig, da det estimerede punkt næsten altid vil ligge mellem de to kendte punkter.
På den anden side, i tilfælde af ekstrapolering, da når vi bevæger os længere fra det højeste (eller laveste) punkt, har forskellene i linjens hældning en stigende indvirkning på værdien af y, er det meget risikabelt kun at tage to point for at beregne hældningen. I disse tilfælde er det, der normalt gøres, at tilpasse flere punkter til den bedste linje eller til en anden polynomiefunktion af højere orden gennem processen med mindste kvadrater, og dermed sikre, at linjen, som vi ekstrapolerer fremad (eller bagud), afspejler den generelle adfærd for dataene som helhed og ikke kun et par af dem.
Lineært interpoleret og ekstrapoleret
I tilfælde af lineær interpolation og lineær ekstrapolation anvendes i det væsentlige de samme matematiske ligninger. I begge tilfælde har interpolationsfunktionen formen y = mx + b, hvor y er den værdi, vi leder efter for en given værdi af x, m er hældningen af den rette linje, som vi tilpasser dataene til, og b er snittet med y-aksen af interpolationsfunktionen.
Hældningen af en lineær funktion kan beregnes ud fra to vilkårlige punkter ved hjælp af formlen:
Vi kan anvende denne formel to gange, én gang mellem to vilkårlige punkter i rækken af kendte data, og en anden mellem et kendt punkt og det punkt, vi ønsker at finde. Da hældningen i begge tilfælde er den samme, kan vi matche begge udtryk og dermed få formlen, der relaterer værdien af y, som vi leder efter, til den bestemte værdi af x, som vi har.
Eksempel
Antag, at vi vil bruge to på hinanden følgende punkter p k-1 =(x k-1 ; y k-1 ) og p k =(x k ; y k ) til at interpolere eller ekstrapolere et hvilket som helst punkt (x ; y). Vi kan derefter skrive hældningen to gange og sætte lig for at få:
Hvis vi omarrangerer denne ligning, får vi:
Bemærk, at der i dette tilfælde ikke antages noget om positionen af punktet (x ; y) i forhold til de to data, der bruges til estimeringen, så den samme ligning bruges til både interpolation og ekstrapolation.
Hvis det er verificeret, at x k-1 < x < x k , eller med andre ord, at x ligger mellem x k-1 og x k , så er det en interpolation. På den anden side, hvis x>x max eller x<x min , det vil sige hvis x er større end den maksimale værdi eller mindre end minimumsværdien af dataserien, så er det en ekstrapolation.
eksempel på interpolation
Antag, at vi ved, at efterspørgslen efter pizzaer i den venezuelanske by Mérida er 500.000 enheder om året, når den gennemsnitlige pris pr. enhed er $20, mens efterspørgslen ved en gennemsnitspris på $15 stiger til 750.000. Vi er interesserede i at estimere, hvad efterspørgslen ville være, hvis vi satte prisen til $16,5.
Løsning
Bemærk, at dette er et eksempel på interpolation, da det punkt, vi ønsker at estimere, svarende til en pris på $16,5, er placeret mellem to kendte punkter (dvs. det er mellem $15 og $20). Til dette eksempel har vi:
Anvend nu den lineære interpolationsformel:
Hvis gennemsnitsprisen på pizzaer er sat til $16,5 pr. enhed, vil den årlige efterspørgsel være 675.000 pizzaer om året.
Eksempler på ekstrapolering
Antag, at vi i samme eksempel ovenfor ønsker at bestemme, hvad efterspørgslen ville være, hvis prisen steg til $25 pr. enhed. Da det i dette tilfælde er verificeret, at x = $25 > $20, så er det en ekstrapolation. Igen er dataene:
Erstatning:
Derfor forudsiger ekstrapoleringen, at hvis prisen stiger til $25, reduceres efterspørgslen til halvdelen af, hvad den var ved $20.
Referencer
Alonso. (2006, 13. februar). 3 Metoder til interpolation fra punkter . Universitetet i Madrid. https://www.um.es/geograf/sigmur/temariohtml/node43_mn.html
Gonza, D. (2016, september). Enhed: interpolation og ekstrapolation af data . doloresgonza.filer. https://doloresgonza.files.wordpress.com/2016/09/interpolacion-1.pdf
LesKanaris. (nd). Forskellen mellem ekstrapolation og interpolation – Interessant – 2022 . https://us.leskanaris.com/3668-the-difference-between-extrapolation-and-interpolation.html
Pinzón, J. (2013, 9. oktober). Interpolation og ekstrapolation . julianapinzon. https://julianapinzon.wordpress.com/interpolacion-y-extrapolacion/
UNIGAL. (2021, 14. september). Lineær interpolationsformel, definition, eksempler og mere . https://unigal.mx/formula-de-interpolacion-lineal-definicion-ejemplos-y-mas/
