Tabla de Contenidos
Aksiomerne er en række udsagn, der accepteres som sande uden behov for bevis, og som alle videnskabsteoremer er baseret på. Derfor er sandsynlighedsaksiomerne de grundlæggende udsagn, som sandsynlighedsteorien er baseret på . De repræsenterer den ultimative referenceramme, som alle eksisterende sætninger i sandsynlighedsteori logisk bør referere til. De blev postuleret af den russiske matematiker Andrey Nikolaevich Kolmogorov i 1933 og stammer udelukkende fra sund fornuft.
Formålet med sandsynlighedsaksiomerne er at formalisere det matematiske sandsynlighedsbegreb for at sikre, at de numeriske værdier, vi tildeler sandsynligheden for, at noget sker, stemmer overens med vores intuitive sandsynlighedsbegreb.
Foreløbige definitioner
Sandsynlighedsteori er kun baseret på tre aksiomer , men før man går i detaljer, er det nødvendigt at etablere nogle grundlæggende definitioner samt nogle konventioner omkring den symbologi, der bruges i sandsynlighed:
- Eksperiment. Det er enhver handling eller proces, der genererer et resultat eller observation. For eksempel er at kaste en mønt et eksperiment (en proces eller handling), der kan resultere i hoveder eller haler.
- Prøveplads ( S ). Refererer til mængden af alle mulige udfald af et eksperiment og er angivet med symbolet S. I møntkasteksemplet ovenfor består prøverummet kun af sættet af to udfald: S ={hoveder, haler}.
- Begivenhed ( E ). En hændelse er en delmængde af prøverummet, det vil sige et hvilket som helst antal mulige udfald af eksperimentet. Begivenheder identificeres normalt med store bogstaver og nedskrevne (såsom E 1 , E 2 , E 3 , osv.) eller med forskellige bogstaver (A, B, C,…). For eksempel er det en begivenhed at komme op, når man kaster en mønt. Tails coming up er en anden begivenhed.
- Sandsynlighed ( P ): Det er en numerisk værdi, der tildeles en begivenhed, og som angiver graden af sikkerhed, man har om dens forekomst. Som en generel regel, jo mere sikker du er på, at en hændelse (for eksempel E 1 ) vil indtræffe, jo højere er sandsynlighedsværdien du tildeler den hændelse.
sæt
Ud over disse definitioner er det også nyttigt at huske nogle operationer relateret til sæt. Skæringen mellem to sæt resulterer i et nyt sæt med elementerne fælles for begge, det er angivet med symbolet ∩ og læses “og”. På den anden side er foreningen mellem to sæt et nyt sæt med alle de fælles og ikke-fælles elementer af begge, det er repræsenteret af symbolet ∪ og det læses “eller”.
Eksempel:
- Udtrykket P(E 1 ∩ E 2 ) læses “Sandsynlighed for, at hændelse E 1 og hændelse E 2 forekommer samtidigt”
- Udtrykket P(E 1 ∪ E 2 ) læses “Sandsynlighed for forekomsten af hændelse E 1 eller hændelse E 2 “
Sandsynlighedsaksiom 1
Det første sandsynlighedsaksiom siger, at givet et eksperiment skal sandsynligheden for, at enhver hændelse finder sted (E) være et ikke-negativt reelt tal. Dette er formelt udtrykt som:
Aksiom 1 repræsenterer den intuitive forestilling om, at det er meningsløst at tale om en negativ sandsynlighed . Den etablerer også nul sandsynlighed som den nedre grænse, som er tildelt en umulig begivenhed. Sidstnævnte er formelt defineret som ethvert resultat (eller et sæt af resultater), der ikke er indeholdt i prøverummet for eksperimentet.
Eksempel:
Når du kaster en terning kun én gang, vil prøverummet kun blive dannet af sættet S={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Det første aksiom siger, at sandsynligheden for at få et hvilket som helst af udfaldene (4, for eksempel) skal være et tal større end nul ( P(4)>0 ). På den anden side er sandsynligheden for, at resultatet er 7, som ikke er en del af stikprøverummet, nul ( P(7)=0 ).
Bemærk, at det første aksiom ikke angiver størrelsen af sandsynligheden for mulige hændelser, det vil sige, at det ikke angiver, hvad sandsynligheden skal være for, at terningkastet resulterer i f.eks. 4. Det specificerer kun, at det skal være et positivt tal..
Sandsynlighedsaksiom 2
Det andet sandsynlighedsaksiom siger, at for hvert eksperiment er sandsynligheden for prøverummet 1 , eller formelt:
En simpel måde at forstå aksiom 2 på er, at sandsynligheden for, at et eller andet resultat, uanset hvad det måtte være, opnås i eksperimentet er 1.
Eksempel:
Som nævnt ovenfor, når man kaster en mønt, er der kun to mulige udfald: hoveder eller haler, så sandsynligheden for, at den vil komme op med hoveder eller haler, ifølge Axiom 2, er 1.
Hvis det første aksiom sætter den nedre grænse for sandsynlighed til nul, sætter det andet aksiom sin øvre grænse til 1. Dette skyldes, at stikprøverummet er en bestemt hændelse, og dets sandsynlighed skal derfor være den størst mulige sandsynlighed.
Sandsynlighedsaksiom 3
Hvis begivenhederne E 1 , E 2 , …, E n ikke har nogen udfald til fælles (deres skæringspunkt er et tomt sæt), siges de at være gensidigt udelukkende, eftersom forekomsten af den ene udelukker forekomsten af den anden. Det tredje aksiom siger, at foreningssandsynligheden for gensidigt udelukkende begivenheder er lig med summen af sandsynligheden for hver enkelt begivenhed . Med andre ord:
For det enkleste tilfælde af kun to gensidigt udelukkende begivenheder (som i tilfælde af en møntkast), er Axiom 3 formuleret som følger:
Dette aksiom formaliserer ideen om, at jo flere mulige udfald der er af en begivenhed, jo mere sandsynligt er det. Dette følger af, at foreningen af to gensidigt udelukkende begivenheder per definition skal indeholde summen af alle udfald i begge begivenheder.
Anvendelse af aksiomer
Ud over de førnævnte eksempler kan de tre aksiomer bruges til at konstruere og bevise brugbare sætninger i sandsynlighedsteori. Et simpelt eksempel er at bestemme forholdet mellem sandsynligheden for enhver begivenhed og dens komplement.
Hvis E er en hvilken som helst begivenhed, så er dens komplement (repræsenteret ved E c ) defineret som den begivenhed, at alt andet end E indtræffer , eller, hvad der kommer til det samme, at E ikke forekommer . Denne definition har to konsekvenser:
- At E og E c udelukker hinanden.
- Foreningen mellem E og E c resulterer i prøverummet, S ( E ∪ E c = S ).
Da de udelukker hinanden, baseret på det tredje aksiom, har vi det
Men da denne forening resulterer i S , så
Nu, ved at anvende det andet aksiom , bliver dette
som er omarrangeret som
Endelig, da vi fra det første aksiom ved , at P(E c ) skal være en ikke-negativ størrelse, konkluderer vi, at sandsynligheden for, at enhver begivenhed vil indtræffe, altid vil være lig med 1 minus sandsynligheden for, at begivenheden ikke indtræffer, og at enhver af de to sandsynligheder skal have en værdi i intervallet [0, 1].
Kilder
Devone, JL (1998). Sandsynlighed og statistik for teknik og videnskab (4. udgave). International Thomson Publishers.