Tabla de Contenidos
В статистиката е много често да се сблъсквате със ситуации, в които искате да изчислите вероятността за обединение на няколко различни събития. Например, собственикът на магазин за бонбони може да се интересува от това каква е вероятността следващото дете, което влезе в неговия магазин, да закупи блокче бял шоколад или блокче млечен шоколад. В този случай искаме да определим вероятността едно от двете възможни събития да се случат, което според теорията на множествата е вероятността за обединяване на двете събития или P(AUB).
В описания случай изчислението на тази вероятност просто се състои от сбора на отделните вероятности, минус вероятността за пресичане между двете събития, т.е.
Причината, поради която вероятността за пресичане трябва да бъде извадена, е, че чрез добавяне на вероятностите за двете събития всяко пресичане се брои два пъти. Това е сравнително лесен за разбиране процес. Може обаче да се случи и да искаме да определим вероятността за обединение не на две, а на три или повече събития. Какво трябва да се направи в такива случаи? В следващия раздел ще разгледаме прост начин за определяне на формулата, която да се приложи в случаите с три и четири събития, и след това ще използваме тези резултати, заедно с горната формула, за да обобщим определянето на вероятността за обединение за произволен брой събития. събития.
Основен преглед
За да разберем процеса на изчисляване на вероятностите за съюз, е необходимо накратко да си припомним някои важни термини, които ще бъдат използвани по-късно:
експеримент . По вероятност експериментът е всеки процес, който може да се повтори многократно и винаги дава резултат. Всеки експеримент е свързан с определен набор от възможни резултати, които винаги ще бъдат едни и същи.
Резултат . Ще наречем последствието от експеримент резултат, като например конкретното лице, което излиза при хвърляне на зар.
Примерно пространство (S) . Съвкупността от всички възможни резултати от експеримент.
събитие . Всеки набор от възможни резултати.
Диаграма на Вен . Графично представяне, което показва връзките между набори от събития и между вероятността от събития в експеримент.
Вероятността за обединение на три събития
Да предположим, че провеждаме експеримент и искаме да определим вероятността за възникване на едно от 3**3 различни събития, които могат или не могат да се случат едновременно. Ще наречем тези три събития A, B и C.
В тези случаи могат да възникнат няколко различни ситуации. Например, може да се случи, че нито едно от събитията не споделя резултати с други, в който случай казваме, че събитията са взаимно изключващи се, което е илюстрирано в следната диаграма на Venn:
Кръгове A, B и C представляват трите събития и обхващат набор от резултати в пространството на извадката, което е сивият правоъгълник, идентифициран с буквата S. В тези случаи вероятността за обединение просто се дава от сбора на вероятностите за всяко отделно събитие:
От друга страна, едно от събитията може също да споделя резултати с едно от другите две събития или дори с двете. Това е илюстрирано в диаграма на Вен като области, които се пресичат една в друга.
В тези случаи сумата от вероятностите взема предвид някои резултати повече от веднъж, така че е необходимо да се извадят тези вероятности, които са били преброени. Тоест, трябва да извадим вероятността за пресичане между всяка двойка събития. Въпреки това, в случаите, когато има резултати, присъстващи и в трите събития (като тези в центъра на диаграмата на Вен по-горе), изваждането на пресечните точки на двойките премахва приноса на централната област, в която двойките се пресичат три събития. Поради тази причина трябва да добавим отново тази малка област, която съответства на вероятността за пресичане на A, B и C.
И накрая, вероятността за обединение на трите събития е:
ЗАБЕЛЕЖКА: Въпреки че този израз е посочен за конкретния случай, когато трите събития се пресичат, това е по-общата форма на случая с три събития, тъй като може да бъде преобразуван във вероятността за обединение на всеки набор от три събития, независимо дали се пресичат или не. Например, в случай на взаимно изключващи се събития, всички вероятности за пресичане са нула, така че изразът се свежда до сумата от отделните вероятности, показани в началото на този раздел.
Вероятността за обединение на четири събития
Да предположим сега, че провеждаме нов експеримент и се интересуваме от вероятността за обединение между четири събития: A, B, C и D. Най-общият случай е, че всички те могат да се пресичат, както е показано на следната диаграма:
В този случай сборът от четирите прости вероятности отчита четири пъти вероятността от резултатите, съдържащи се в област I, три пъти тези от области II, III, IV и V и два пъти тези от области VI, VII, VIII и IX. За да коригираме това, първо трябва да извадим вероятностите за пресичане на всички двойки (A и B, A и C, A и D, B и C, B и D и C и D). Това от своя страна изважда областите на пресичане на всяка група от три (ABC, ABD, ACD и BCD) твърде много пъти, така че тези области трябва да се добавят отново и така нататък, докато всички области бъдат преброени веднъж.
Резултатът за случая на четири събития, независимо дали са взаимно изключващи се или не, е:
Вероятност за обединяване на повече от четири събития
До този момент вече можем да открием модел между формулите за съюзните вероятности на две, три и четири събития. Всички те започват със сбора на простите вероятности, след това изваждат вероятностите за пресичане между всички възможни двойки събития, след това добавят вероятностите за пресичане на всяка възможна група от три събития и така нататък, като редуват добавяне и изваждане на пресечните точки между повече и повече събития, докато стигнем до пресечната точка на всички събития. За четен брой събития, това последно пресичане винаги е отрицателно (извадено), докато за нечетен брой събития то винаги е положително (добавено).
Препратки
- Arrizabalaga R., M. (2015, септември). ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ . АВТОНОМЕН ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ НА МЕКСИКО. https://core.ac.uk/download/pdf/55528069.pdf
- DeVore, J. (2002). Вероятност и статистика за инженерството и науките (5-то издание). Thomson International.
- Мануел, М. (2020 г., 1 юли). Вероятност за съюза на събитията . Лесна математика. https://lasmatesfaciles.com/2020/06/29/probabilidad-de-la-union-de-sucesos/
- Марта, М. (2021 г., 27 март). Обединение на събития или събития . Суперпроф. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/union-de-sucesos.html
