Научете се да изчислявате стандартното отклонение

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.

Tabla de Contenidos

Стандартното отклонение, представено с гръцката буква σ (сигма) или с буквата S , е мярка за променливостта на серия от данни. По-точно, той представлява мярка за средните отклонения на данните от извадка или популация по отношение на средната популация, като по този начин показва колко разпръснати са данните около споменатата стойност на централната тенденция.

Високото стандартно отклонение показва, че средно данните са далеч от средната стойност и в двете посоки (данните са много разпръснати), докато малкото стандартно отклонение показва обратното.

Стандартното отклонение винаги се изчислява като корен квадратен от друга мярка за променливост, наречена дисперсия. Има няколко начина за изчисляване на дисперсията в зависимост от вида на наличните данни (извадка или популация), което води до повече от един начин за изчисляване на стандартното отклонение.

И в двата случая се използват малко по-различни формули, които са описани в следващия раздел. По-нататък описваме как да изчислим всеки от тях стъпка по стъпка и „на ръка“. Той също така описва как да използвате калкулатори със статистически функции и електронни таблици като Excel или Google Sheets за изчисляване на тази важна статистическа променлива.

Има два вида стандартно отклонение

В статистиката има два вида описателни мерки за серия от данни, в зависимост от това дали са налични всички данни за популация или само тези за извадка. Тези мерки, които се използват за описание на популацията, се наричат ​​параметри на популацията и обикновено се представят с гръцки букви. Междувременно параметрите, които описват извадка, се наричат ​​статистики и обикновено се представят с малки букви.

С оглед на това има два вида стандартно отклонение:

  • Стандартното отклонение на популацията , което е параметър на популацията, представен с гръцката буква σ (малка сигма).
  • Стандартното отклонение на извадката , което е статистически параметър, представен с буквата S.

По-долу са дадени формулите за изчисляване на двата вида стандартно отклонение.

Формули за изчисляване на стандартното отклонение на популацията σ

Формула за изчисляване на стандартното отклонение на популацията

В тези уравнения x i представлява стойността на всеки отделен елемент от данни, μ е средната стойност на популацията, а n е общият брой на елементите с данни в популацията.

Формули за изчисляване на извадковото стандартно отклонение S

Формула за изчисляване на стандартното отклонение на извадката

В тези уравнения x i представлява стойността на всеки отделен елемент от данни в извадката, ¯x е средната стойност на извадката, а n е общият брой елементи от данни в извадката.

Единствената реална разлика в начина, по който се изчисляват двете стандартни отклонения е, че в единия случай се дели на n, докато в другия се дели на n – 1 . Последното е да коригира разликата между средната стойност на извадката и средната стойност на популацията, които обикновено не са еднакви.

Каква формула трябва да се използва?

Единственото нещо, което трябва да вземете предвид, когато решавате коя от формулите да използвате, е дали данните, за които трябва да се изчисли стандартното отклонение, представляват всички данни в популацията или представляват само извадка. Това обикновено е видно от изявлението (в случай, че се решава статистически проблем) или от начина, по който са получени данните.

СЪВЕТ: Когато се съмнявате, най-безопасно е да приемете, че това е извадка, тъй като рядко разполагате с всички данни за популация.

Що се отнася до използването на първата (тази отляво) или втората (тази отдясно) формула за σ или за S, и в двата случая двете показани уравнения дават един и същ резултат. Въпреки това е по-практично да използвате формулата отдясно, въпреки че може да изглежда по-сложна. Причината е много проста: необходими са по-малко стъпки за изчисляване на стандартното отклонение с формулите отдясно, отколкото с тези отляво.

Как да изчислим стандартното отклонение „на ръка“

По-долу представяме стъпките, които трябва да се извършат, за да се изчисли стандартното отклонение, като използваме пример за илюстриране на процеса.

проблем

Определено е времето, за което извадка от 15 автомобила е напълнила резервоара на бензиностанция. Данните, измерени в секунди, са представени по-долу:

71 65 48 76 80
64 42 55 80 66
53 49 70 67 42

Определете стандартното отклонение.

Решение: в този случай твърдението уточнява, че данните съответстват на извадка, така че уравнението, което ще използваме за определяне на стандартното (извадково) отклонение, ще бъде:

Пример за формула едно за изчисляване на стандартното отклонение на извадката

За да приложим тази формула, трябва само да изчислим сумата от данните (∑X i ), сумата от квадратите на данните (∑X i 2 ) и общия брой данни (n). Това се постига лесно чрез следните стъпки:

Стъпка 1: Организирайте данните вертикално

Изчисляването на стандартното отклонение е по-лесно, ако данните ви са подредени във вертикален списък, тъй като това улеснява следващите стъпки. Не е строго необходимо, но също така помага всеки елемент от данни да бъде идентифициран с число, тъй като лесно предоставя общия брой елементи от данни (n), който е необходим, за да може формулата да се използва. Данните не трябва да се подреждат по никакъв начин.

# Xi _ x i 2
1 71  
2 65  
3 48  
4 76  
5 80  
6 64  
7 42  
8 55  
9 80  
10 66  
единадесет 53  
12 49  
13 70  
14 67  
петнадесет 42  

Стъпка 2: изчислете квадрата на всяка информация

Следващата стъпка е да поставите на квадрат всеки отделен елемент от данни и след това да запишете резултата в колона до него.

# Xi _ x i 2
1 71 5041
2 65 4225
3 48 2304
4 76 5776
5 80 6400
6 64 4096
7 42 1764 г
8 55 3025
9 80 6400
10 66 4356
единадесет 53 2809
12 49 2401
13 70 4900
14 67 4489
петнадесет 42 1764 г

Стъпка 3: Сумирайте всички оригинални данни

Добавяме всички стойности, които се появяват в колоната, която идентифицираме като X i , и записваме резултата в края на споменатата колона.

Стъпка 4: Добавете всички квадратчета на данните и запишете резултата в долната част на колоната

Добавяме всички стойности, които се появяват в колоната, която идентифицираме като X i 2 , и записваме резултата в края на споменатата колона. След изпълнение на стъпки 3 и 4 таблицата ще изглежда така:

# Xi _ x i 2
1 71 5041
2 65 4225
3 48 2304
4 76 5776
5 80 6400
6 64 4096
7 42 1764 г
8 55 3025
9 80 6400
10 66 4356
единадесет 53 2809
12 49 2401
13 70 4900
14 67 4489
петнадесет 42 1764 г
Брой данни (n) Сума от данни ( ∑X i ) Сума от квадрати ( ∑X i 2 )
петнадесет 928 59750

Стъпка 5: Приложете формулата за стандартно отклонение

Последната стъпка е просто да замените стойностите в края на таблицата в съответната формула:

Заместете стойностите във формулата, за да изчислите стандартното отклонение

Резултат от ръчно изчисляване на стандартното отклонение

Как да изчислим стандартното отклонение със статистически калкулатор

Повечето научни и финансови калкулатори имат специални функции за улесняване на изчисляването на всички мерки за централна тенденция и дисперсия, използвани в статистиката. Процедурата, независимо от модела на калкулатора, винаги е една и съща:

Стъпка 1 – Влезте в режим на статистика

Калкулаторите обикновено имат специален режим за статистически функции. Обикновено се достига чрез натискане на бутона MODE , последван от число, което обикновено се появява на екрана до STAT , SD (за стандартно отклонение ) или нещо подобно.

Стъпка 2 – Почистване на паметта

При по-старите калкулатори не се показва дали вече има съхранени данни в паметта на калкулатора, така че винаги е добра идея да изчистите паметта преди да започнете. За да направите това, натиснете клавиша CLR или MCL и след това изберете опцията MODE (това ще изтрие само данните, съхранени в режим на статистика). В много случаи е необходимо да влезете отново в режим на статистика след тази стъпка.

Стъпка 3: въведете всички данни

Всички данни се въвеждат последователно, една по една, чрез натискане на DT , клавиш DATA или друг подобен между тях.

Стъпка 4: получете резултата

Последната стъпка е просто да поискате от калкулатора стандартното отклонение. Мястото на намиране на резултатите варира значително между моделите и марките калкулатори. При някои трябва да натиснете клавиша SHIFT , последван от клавиша, който казва S-VAR по-горе , при други е различно. Препоръчително е да се обърнете към ръководството на калкулатора.

След като получим правилното меню, трябва да изберем кое от двете стандартни отклонения ни трябва. Ако това са данни за населението, избираме опцията, която казва σ или σ(n). Ако това са примерни данни, избираме опцията, която казва σ(n-1) или S.

Как да изчислим стандартното отклонение в Microsoft® Excel™

Най-лесният начин за изчисляване на стандартното отклонение е чрез електронни таблици като Excel или Google Sheets. Тези програми вече имат всички протоколи за изчисляване на различните статистически променливи, от които може да се нуждаем. Това става в две прости стъпки:

Стъпка 1: поставете или добавете данните

Това е толкова просто, колкото да копирате данните директно, една по една в отделни клетки (под формата на колони, редове или матрици, няма значение какво). В случая с нашия пример:

Как да изчислим стандартното отклонение в електронни таблици като Excel

СТЪПКА 2: Напишете формулата за стандартното отклонение, от което се нуждаем

Това зависи от използваната електронна таблица и езика, на който е зададена. В случая на Microsoft® Excel™, испанска версия, формулите за стандартното отклонение са:

Примерно стандартно отклонение (S): =STDEV.M(данни 1; данни 2;…;данни n)
Стандартно отклонение на популацията (σ): =STDEV.P(данни 1; данни 2;…;данни n)

Не е необходимо да въвеждате индивидуалните данни, просто изберете клетките, в които данните вече са поставени. В нашия пример данните са в диапазона от клетка B1 до клетка F3, която се записва като B2:F3.

Как да изчислим стандартното отклонение в електронни таблици като Excel - Стъпка 2

Накрая се натиска клавиш ENTER и ГОТОВО! Получава се стандартното отклонение.

Препратки

  • Espinoza, CI, & Echecopar, AL (2020). Статистически приложения, използващи MS Excel с примери стъпка по стъпка (испанско издание) (1-во издание ). Лима, Перу: Луис Фелипе Аризменди Ечекопар и Дуо Негосиос SAC.

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados